При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен представить в виде произведения двух или более многочленов или в виде произведения многочлена на одночлен, содержащий не менее одной переменной. Однако не каждый многочлен допускает разложение на множители над полем действительных чисел.

Например, многочлены х + 3, х² + 6х + 10 разложить на множители нельзя. Такие многочлены называют неприводимыми. Разложение многочлена на множители считается законченным, если все полученные множители неприводимы.

При разложении многочленов на множители применяются различные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др. Рассмотрим несколько примеров применения этих приемов.

Пример 1. Разложить на множители многочлен:

а) а²- 2а³b – 2ab³ + b²;

б) а³ -7а² + 7а + 15.

Решение

а) Объединим крайние слагаемые в одну группу, а средние – в другую и во второй группе вынесем за скобки общий множитель. Получим:

а²- 2а³b – 2ab³ + b²=(а² + b²)-(2а³b+ 2ab³)=(а² + b²) – 2аb(а²+ b²)=

=(а² + b²)(1 - 2аb).

б) Представим второй и третий члены заданного многочлена следующим образом: -7а² = -3а² – 4а²; 7а = 12а – 5а. Тогда исходный многочлен примет вид: а³ -3а² – 4а² + 12а – 5а + 15. Сгруппируем слагаемые попарно и в каждой группе вынесем за скобки общие множители:

(а³ -3а²) – (4а² - 12а)- (5а - 15) =а²(а - 3) -4а(а - 3) – 5(а - 3)=(а - 3)(а² - 4а - 5).

Теперь разложим на множители многочлен а²- 4а – 5. Это можно сделать двумя способами.

1-й способ.

а² - 4а – 5= а² + а – 5а – 5=(а² + а) -(5а + 5)=а(а + 1)-

- 5(а + 1)=(а + 1)(а -5).

2-й способ.

Из уравнения а²- 4а – 5=0 находим корни а₁=-1,а₂=5. Применив формулу разложения на множители квадратного трехчлена

(ах² +bх +с = а(х –х₁)(х – х₂)), получим: а² - 4а – 5=(а – а₁)(а – а₂)=

=(а + 1)(а -5).

Итак, а³ -7а² + 7а + 15=(а - 3)(а + 1)(а -5).

Пример 2. Разложим на множителиab(a +b) – bc(b + c) + ac(a - c).

Решение

Воспользуемся тем, что выражение в первых скобках есть сумма выражений, содержащихся во вторых и третьих скобках: a +b = (b + c) + (a + c). Тогдаab(a +b) – bc(b + c) + ac(a - c)=

= ab((b + c) + +(a + c)) - bc(b + c) + ac(a - c)=ab(b +c) + ab(a - c) –

- bc(b + c) + ac(a - c).

Выполним далее группировку членов и вынесем общий множитель за скобки. Получим: (ab(b +c)- bc(b + c)) +( ab(a - c)+ ac(a - c)) =

= (b + c)(ab - bc) + (a - c)(ab + ac)=(b + c)b(a -c) +(a–c)a(b + c) =

= (a -c)(b + c)(a + b).

Пример 3. Разложим на множители a³ – 5a² –a + 5.

Решение

Выполним группировку и затем вынесем общий множитель за скобки: (a³ – 5a²) – (a- 5)=а²(а - 5) – (а - 5) = (а - 5)(а² -1).

Применяя далее формулу а² – в² = (а - в)(а + в), получим :

a³ – 5a² –a + 5= ( а - 5)(а - 1)(а + 1).

Пример 4.Разложим на множители 4а²– 12ab + 5b².

Решение

Дополним двучлен 4а² – 12ab до полного квадрата. Получим: (2а)² -2(2а)(3b) + (3b)².Тогда (4a² – 12ab + 9b²) -9b² + 5b² =

= (2a – 3b)² –(2b)²= (2a – 3b – 2b)(2a – 3b + 2b) = (2a – 5b)(2a - b).

Пример 5. Разложим на множители а⁴-10а² + 169.

Решение

Заметив, что а⁴ + 169=(а²)² + (13)², и дополнив эту сумму до полного квадрата, получим: (а⁴+ 26а² +169)– 26а² - 10а²= (а² + 13)² –(6а)² =(а² - 6а + 13)(а² + 6а + 13).

Пример 6. Разложим на множители а⁶ + a⁴ + a²b² + b⁴–b⁶.

Решение

Так как а⁶ - b⁶= (а³)² – (b³)²= (а³- b³)(а³+b³)=(a - b)(a²+ab +b²) (a+b)(a²- ab +b²)иa⁴ + a²b² + b⁴=( a⁴ + 2a²b² + b⁴) - a²b² = (a² + b²)² – (ab)² =(a² +ab + b²)(a² - ab + b²), тоа⁶ + a⁴ + a²b² + b⁴ – b⁶ = (a - b)(a²+ab +b²) (a+b)(a²- ab +b²) +(a² +ab + b²)(a² - ab + b²) =(a² +ab + b²)(a² - ab + b²)∙((a - b)(a+b)+1) =(a² +ab + b²)(a² - ab + b²)(a² – b² + 1).

Пример 7. Разложим на множители a³ + 9a² + 27a + 19.

Решение

Нетрудно увидеть, что в данном многочлене до полного куба суммы не хватает 8. Поэтомуможнозаписать (a³ + 9a² + 27a + 27) – 8 =(a + 3)³ – 2³=(a + 3 - 2)((a + 3)² + (a+3)∙2 + 4)=(a+1)(a²+8+19).

Упражнения