При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен представить в виде произведения двух или более многочленов или в виде произведения многочлена на одночлен, содержащий не менее одной переменной. Однако не каждый многочлен допускает разложение на множители над полем действительных чисел.
Например, многочлены х + 3, х2 + 6х + 10 разложить на множители нельзя. Такие многочлены называют неприводимыми. Разложение многочлена на множители считается законченным, если все полученные множители неприводимы.
При разложении многочленов на множители применяются различные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др. Рассмотрим несколько примеров применения этих приемов.
Пример 1. Разложить на множители многочлен:
а) а2- 2а3b – 2ab3 + b2;
б) а3 -7а2 + 7а + 15.
Решение
а) Объединим крайние слагаемые в одну группу, а средние – в другую и во второй группе вынесем за скобки общий множитель. Получим:
а2- 2а3b – 2ab3 + b2=(а2 + b2)-(2а3b+ 2ab3)=(а2 + b2) – 2аb(а2+ b2)=
=(а2 + b2)(1 - 2аb).
б) Представим второй и третий члены заданного многочлена следующим образом: -7а2 = -3а2 – 4а2; 7а = 12а – 5а. Тогда исходный многочлен примет вид: а3 -3а2 – 4а2 + 12а – 5а + 15. Сгруппируем слагаемые попарно и в каждой группе вынесем за скобки общие множители:
(а3 -3а2) – (4а2 - 12а)- (5а - 15) =а2(а - 3) -4а(а - 3) – 5(а - 3)=(а - 3)(а2 - 4а - 5).
Теперь разложим на множители многочлен а2- 4а – 5. Это можно сделать двумя способами.
1-й способ.
а2 - 4а – 5= а2 + а – 5а – 5=(а2 + а) -(5а + 5)=а(а + 1)-
- 5(а + 1)=(а + 1)(а -5).
2-й способ.
Из уравнения а2- 4а – 5=0 находим корни а1=-1,а2=5. Применив формулу разложения на множители квадратного трехчлена
(ах2 +bх +с = а(х –х1)(х – х2)), получим: а2 - 4а – 5=(а – а1)(а – а2)=
=(а + 1)(а -5).
Итак, а3 -7а2 + 7а + 15=(а - 3)(а + 1)(а -5).
Пример 2. Разложим на множителиab(a +b) – bc(b + c) + ac(a - c).
Решение
Воспользуемся тем, что выражение в первых скобках есть сумма выражений, содержащихся во вторых и третьих скобках: a +b = (b + c) + (a + c). Тогдаab(a +b) – bc(b + c) + ac(a - c)=
= ab((b + c) + +(a + c)) - bc(b + c) + ac(a - c)=ab(b +c) + ab(a - c) –
- bc(b + c) + ac(a - c).
Выполним далее группировку членов и вынесем общий множитель за скобки. Получим: (ab(b +c)- bc(b + c)) +( ab(a - c)+ ac(a - c)) =
= (b + c)(ab - bc) + (a - c)(ab + ac)=(b + c)b(a -c) +(a–c)a(b + c) =
= (a -c)(b + c)(a + b).
Пример 3. Разложим на множители a3 – 5a2 –a + 5.
Решение
Выполним группировку и затем вынесем общий множитель за скобки: (a3 – 5a2) – (a- 5)=а2(а - 5) – (а - 5) = (а - 5)(а2 -1).
Применяя далее формулу а2 – в2 = (а - в)(а + в), получим :
a3 – 5a2 –a + 5= ( а - 5)(а - 1)(а + 1).
Пример 4.Разложим на множители 4а2– 12ab + 5b2.
Решение
Дополним двучлен 4а2 – 12ab до полного квадрата. Получим: (2а)2 -2(2а)(3b) + (3b)2.Тогда (4a2 – 12ab + 9b2) -9b2 + 5b2 =
= (2a – 3b)2 –(2b)2= (2a – 3b – 2b)(2a – 3b + 2b) = (2a – 5b)(2a - b).
Пример 5. Разложим на множители а4-10а2 + 169.
Решение
Заметив, что а4 + 169=(а2)2 + (13)2, и дополнив эту сумму до полного квадрата, получим: (а4+ 26а2 +169)– 26а2 - 10а2= (а2 + 13)2 –(6а)2 =(а2 - 6а + 13)(а2 + 6а + 13).
Пример 6. Разложим на множители а6 + a4 + a2b2 + b4–b6.
Решение
Так как а6 - b6= (а3)2 – (b3)2= (а3- b3)(а3+b3)=(a - b)(a2+ab +b2) (a+b)(a2- ab +b2)иa4 + a2b2 + b4=( a4 + 2a2b2 + b4) - a2b2 = (a2 + b2)2 – (ab)2 =(a2 +ab + b2)(a2 - ab + b2), тоа6 + a4 + a2b2 + b4 – b6 = (a - b)(a2+ab +b2) (a+b)(a2- ab +b2) +(a2 +ab + b2)(a2 - ab + b2) =(a2 +ab + b2)(a2 - ab + b2)∙((a - b)(a+b)+1) =(a2 +ab + b2)(a2 - ab + b2)(a2 – b2 + 1).
Пример 7. Разложим на множители a3 + 9a2 + 27a + 19.
Решение
Нетрудно увидеть, что в данном многочлене до полного куба суммы не хватает 8. Поэтомуможнозаписать (a3 + 9a2 + 27a + 27) – 8 =(a + 3)3 – 23=(a + 3 - 2)((a + 3)2 + (a+3)∙2 + 4)=(a+1)(a2+8+19).
Упражнения
1. |
a4 – 1. |
22. |
a(b – 2c)2+b(a – 2c)2-c(a+b)2+8abc |
2. |
a6 -1. |
23. |
a3(a2-7)2 - 36a. |
3. |
a6 + 1. |
24. |
(a + b)5 – (a5 + b5). |
4. |
a4 – 18a2 + 81. |
25. |
a2b2(b - a) + b2c2(c - b) + a2c2(a- c) |
5. |
a12 – 2a6 + 1. |
26. |
8a3(b + c) - b3(2a + c) - c3(2a - b). |
6. |
a5 + a3 – a2 – 1. |
27. |
(a + b + c)3- (a3 + b3 + c3). |
7. |
a4 + 2a3 – 2a – 1. |
28. |
a4 + 9. |
8. |
4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2. |
29. |
a4 + b4. |
9. |
a4 + a2b2 + b4. |
30. |
a3 + 5a2 + 3a – 9. |
10. |
a4 + 4a2 -5. |
31. |
a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1. |
11. |
4a4 + 5a2 +1. |
32. |
(a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15. |
12. |
c4 – (1 +ab)c2 + ab. |
33. |
(a - b)c3 – (a – c )b3 + (b - c)a3. |
13. |
a4 + 324. |
34. |
(a - b)3 + (b - c)3 – (a - c)3. |
14. |
a4 + a2 + 1. |
35. |
(a2 + b2)3 – (b2 + c2)3 – (a2 – c2)3. |
15. |
a8 + a4 + 1. |
36. |
a4 + 2a3b – 3a2b2 – 4ab3 – b4. |
16. |
2a4 + a3 + 4a2 + a +2. |
37. |
a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + 3abc. |
17. |
a4 + 3a3 + 4a2 -6a -12. |
38. |
a4 + b4 + c4 -2a2b2 – 2a2c2 -2b2c2. |
18. |
(a2 +a +3)( a2 +a +4) – 12. |
39. |
a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1. |
19. |
a5 + a3 – a2 -1. |
40. |
a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1. |
20. |
2a2b+4ab2–a2c+ac2-4b2c+2bc2-4abc |
41. |
a4 - 2a3b - 8a2b2 – 6ab3 – b4. |
21. |
(ab + ac + bc)(a + b + c) – abc. |
42. |
a10 + a5 + 1. |