Основное меню

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Начальные классы

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Русский язык

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Литература

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Английский язык

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

История

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Обществознание

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Биология

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

География

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Математика

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

 

При решении многих алгебраических задач бывает необходимо данный многочлен представить в виде произведения двух или более многочленов или в виде произведения многочлена на одночлен, содержащий не менее одной переменной. Однако не каждый многочлен допускает разложение на множители над полем действительных чисел.

Например, многочлены х + 3, х2 + 6х + 10 разложить на множители нельзя. Такие многочлены называют неприводимыми. Разложение многочлена на множители считается законченным, если все полученные множители неприводимы.

При разложении многочленов на множители применяются различные приемы: вынесение общего множителя за скобки, группировка, использование формул сокращенного умножения и др. Рассмотрим несколько примеров применения этих приемов.


Пример 1. Разложить на множители многочлен:

а) а2- 2а3b – 2ab3 + b2;

б) а3 -7а2 + 7а + 15.


Решение

а) Объединим крайние слагаемые в одну группу, а средние – в другую и во второй группе вынесем за скобки общий множитель. Получим:

а2- 2а3b – 2ab3 + b2=(а2 + b2)-(2а3b+ 2ab3)=(а2 + b2) – 2аb2+ b2)=

=(а2 + b2)(1 - 2аb).

б) Представим второй и третий члены заданного многочлена следующим образом: -7а2 = -3а2 – 4а2; 7а = 12а – 5а. Тогда исходный многочлен примет вид: а3 -3а2 – 4а2 + 12а – 5а + 15. Сгруппируем слагаемые попарно и в каждой группе вынесем за скобки общие множители:

3 -3а2) – (4а2 - 12а)- (5а - 15) =а2(а - 3) -4а(а - 3) – 5(а - 3)=(а - 3)(а2 - 4а - 5).

Теперь разложим на множители многочлен а2- 4а – 5. Это можно сделать двумя способами.


1-й способ.

а2 - 4а – 5= а2 + а – 5а – 5=(а2 + а) -(5а + 5)=а(а + 1)-

- 5(а + 1)=(а + 1)(а -5).


2-й способ.

Из уравнения а2- 4а – 5=0 находим корни а1=-1,а2=5. Применив формулу разложения на множители квадратного трехчлена

(ах2 +bх +с = а(х –х1)(х – х2)), получим: а2 - 4а – 5=(а – а1)(а – а2)=

=(а + 1)(а -5).

Итак, а3 -7а2 + 7а + 15=(а - 3)(а + 1)(а -5).

 



Пример 2. Разложим на множителиab(a +b) – bc(b + c) + ac(a - c).

 

Решение

Воспользуемся тем, что выражение в первых скобках есть сумма выражений, содержащихся во вторых и третьих скобках: a +b = (b + c) + (a + c). Тогдаab(a +b) – bc(b + c) + ac(a - c)=

= ab((b + c) + +(a + c)) - bc(b + c) + ac(a - c)=ab(b +c) + ab(a - c) –

- bc(b + c) + ac(a - c).

 

Выполним далее группировку членов и вынесем общий множитель за скобки. Получим: (ab(b +c)- bc(b + c)) +( ab(a - c)+ ac(a - c)) =

= (b + c)(ab - bc) + (a - c)(ab + ac)=(b + c)b(a -c) +(a–c)a(b + c) =

= (a -c)(b + c)(a + b).

 



Пример 3. Разложим на множители a3 – 5a2a + 5.

 

Решение

Выполним группировку и затем вынесем общий множитель за скобки: (a3 – 5a2) – (a- 5)=а2(а - 5) – (а - 5) = (а - 5)(а2 -1).

Применяя далее формулу а2 – в2 = (а - в)(а + в), получим :

a3 – 5a2a + 5= ( а - 5)(а - 1)(а + 1).

 



Пример 4.Разложим на множители 4а2– 12ab + 5b2.

 

Решение

Дополним двучлен 4а2 – 12ab до полного квадрата. Получим: (2а)2 -2(2а)(3b) + (3b)2.Тогда (4a2 – 12ab + 9b2) -9b2 + 5b2 =

= (2a – 3b)2 –(2b)2= (2a – 3b – 2b)(2a – 3b + 2b) = (2a – 5b)(2a - b).

 



Пример 5. Разложим на множители а4-10а2 + 169.

 

Решение

Заметив, что а4 + 169=(а2)2 + (13)2, и дополнив эту сумму до полного квадрата, получим: (а4+ 26а2 +169)– 26а2 - 10а2= (а2 + 13)2 –(6а)2 =(а2 - 6а + 13)(а2 + 6а + 13).

 



Пример 6. Разложим на множители а6 + a4 + a2b2 + b4b6.

 

Решение

Так как а6 - b6= (а3)2 – (b3)2= (а3- b3)(а3+b3)=(a - b)(a2+ab +b2) (a+b)(a2- ab +b2)иa4 + a2b2 + b4=( a4 + 2a2b2 + b4) - a2b2 = (a2 + b2)2 – (ab)2 =(a2 +ab + b2)(a2 - ab + b2), тоа6 + a4 + a2b2 + b4 – b6 = (a - b)(a2+ab +b2) (a+b)(a2- ab +b2) +(a2 +ab + b2)(a2 - ab + b2) =(a2 +ab + b2)(a2 - ab + b2)∙((a - b)(a+b)+1) =(a2 +ab + b2)(a2 - ab + b2)(a2 – b2 + 1).



Пример 7. Разложим на множители a3 + 9a2 + 27a + 19.

 

Решение

Нетрудно увидеть, что в данном многочлене до полного куба суммы не хватает 8. Поэтомуможнозаписать (a3 + 9a2 + 27a + 27) – 8 =(a + 3)3 – 23=(a + 3 - 2)((a + 3)2 + (a+3)∙2 + 4)=(a+1)(a2+8+19).

 



Упражнения

 

1.

a4 – 1.

22.

a(b – 2c)2+b(a – 2c)2-c(a+b)2+8abc

2.

a6 -1.

23.

a3(a2-7)2 - 36a.

3.

a6 + 1.

24.

(a + b)5 – (a5 + b5).

4.

a4 – 18a2 + 81.

25.

a2b2(b - a) + b2c2(c - b) + a2c2(a- c)

5.

a12 – 2a6 + 1.

26.

8a3(b + c) - b3(2a + c) - c3(2a - b).

6.

a5 + a3 – a2 – 1.

27.

(a + b + c)3- (a3 + b3 + c3).

7.

a4 + 2a3 – 2a – 1.

28.

a4 + 9.

8.

4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2.

29.

a4 + b4.

9.

a4 + a2b2 + b4.

30.

a3 + 5a2 + 3a – 9.

10.

a4 + 4a2 -5.

31.

a(a + 1)(a + 2)(a + 3) + 1.

11.

4a4 + 5a2 +1.

32.

(a + 1)(a + 3)(a + 5)(a + 7) + 15.

12.

c4 – (1 +ab)c2 + ab.

33.

(a - b)c3 – (a – c )b3 + (b - c)a3.

13.

a4 + 324.

34.

(a - b)3 + (b - c)3 – (a - c)3.

14.

a4 + a2 + 1.

35.

(a2 + b2)3 – (b2 + c2)3 – (a2 – c2)3.

15.

a8 + a4 + 1.

36.

a4 + 2a3b – 3a2b2 – 4ab3 – b4.

16.

2a4 + a3 + 4a2 + a +2.

37.

a2b + ab2 + a2c + b2c + bc2 + 3abc.

17.

a4 + 3a3 + 4a2 -6a -12.

38.

a4 + b4 + c4 -2a2b2 – 2a2c2 -2b2c2.

18.

(a2 +a +3)( a2 +a +4) – 12.

39.

a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1.

19.

a5 + a3 – a2 -1.

40.

a4 +2a3 + 3a2 + 2a + 1.

20.

2a2b+4ab2–a2c+ac2-4b2c+2bc2-4abc

41.

a4 - 2a3b - 8a2b2 – 6ab3 – b4.

21.

(ab + ac + bc)(a + b + c) – abc.

42.

a10 + a5 + 1.

 

 

Поиск

Поделиться:

Информатика

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Физика

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Химия

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

ОГЭ и ЕГЭ

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Педагогическая копилка

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж

Переменка

Калькулятор расчета пеноблоков смотрите на этом ресурсе
Все о каркасном доме можно найти здесь http://stroidom-shop.ru
Как снять комнату в коммунальной квартире смотрите тут comintour.net Самое современное лечение грыж
Яндекс.Метрика
Рейтинг@Mail.ru